Phát biểu hằng đẳng thức bằng lời và cách học thuộc nhanh

27/12/202227/12/2022 Admin hằng đẳng thức, toán

Hằng đẳng thức là kiến thức rất quan trọng trong môn Toán. Đây là những kiến thức không quá khó học nhưng khó nhớ và dễ bị nhầm lẫn. Sau đây chúng tôi sẽ giúp các bạn phát biểu hằng đẳng thức bằng lời giúp bạn nhớ lâu và nhanh áp dụng vào thực hành.

HẰNG ĐẲNG THỨC SỐ 1

Bình phương của một tổng

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

( A + B )2 = A2 + 2AB + B2.

=> Phát biểu bằng lời: Bình phương của một Tổng bằng bình phương số thứ nhất, Cộng với hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai, Cộng với bình phương số thứ hai.

Ví dụ minh họa: Tính ( a + 4 )2

Ta có: ( a + 4 )2 = a2+ 2.a.4 + 42

= a2 + 8a + 16.

HẰNG ĐẲNG THỨC SỐ 2

Bình phương của một hiệu

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

( A – B )2 = A2 – 2AB + B2.

Phát biểu bằng lời: Bình phương của một Hiệu bằng bình phương số thứ nhất, Trừ đi hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai, Cộng với bình phương số thứ hai.

Ví dụ minh họa: Tính (4x-y)2

Ta có: (4x-y)2 = (4x)2 – 2.4x.y + (y)2

= 16×2 -8xy + y2

HẰNG ĐẲNG THỨC SỐ 3

Hiệu hai bình phương

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

A2 – B2 = ( A – B )( A + B ).

Phát biểu bằng lời: Hiệu hai bình phương bằng Hiệu của số thứ nhất và số thứ hai Nhân với Tổng của số thứ nhất và số thứ hai.

Ví dụ minh họa: Tính (x-2)(x+2)

Ta có: (x-2)(x+2) = (x)2 – 22 = x2 – 4

HẰNG ĐẲNG THỨC SỐ 4

Lập phương của một tổng

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.

Phát biểu bằng lời: Lập phương của một tổng bằng lập phương của số thứ nhất, Cộng ba lần tích bình phương của số thứ nhất với số thứ hai, Cộng ba lần tích số thứ nhất với bình phương của số thứ hai, Cộng lập phương của số thứ hai.

Ví dụ minh họa: Tính (x + 4)3

Ta có: (x + 4)3 = x3 + 3.x2.4 + 3x. 22 +23

= x3 +12×2 +12x + 48

HẰNG ĐẲNG THỨC SỐ 5

Lập phương của một hiệu

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

( A – B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3.

Phát biểu bằng lời: Lập phương của một hiệu bằng lập phương của số thứ nhất, Trừ ba lần tích bình phương của số thứ nhất với số thứ hai, Cộng ba lần tích số thứ nhất với bình phương của số thứ hai, Trừ lập phương của số thứ hai.

Ví dụ minh họa : Tính ( 2x – 1 )3.

Ta có: ( 2x – 1 )3 = ( 2x )3 – 3.( 2x )2.1 + 3( 2x ).12 – 13

= 8×3 – 12×2 + 6x – 1

HẰNG ĐẲNG THỨC SỐ 6

Tổng hai lập phương

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

A3 + B3 = ( A + B )( A2 – AB + B2 ).

Phát biểu bằng lời: Tổng hai lập phương bằng Tổng của số thứ nhất và số thứ hai Nhân với bình phương thiếu của Hiệu.

Chú ý: Ta quy ước A2 – AB + B2 là bình phương thiếu của hiệu A – B.

Ví dụ minh họa: Tính 33+ 43

Ta có: 33+ 43 = ( 3 + 4 )( 32 – 3.4 + 42 )

= 7.13

= 91.

HẰNG ĐẲNG THỨC SỐ 7

Hiệu hai lập phương

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có:

A3 – B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ).

Phát biểu bằng lời: Hiệu hai lập phương bằng Hiệu của số thứ nhất và số thứ hai Nhân với bình phương thiếu của Tổng.

Chú ý: Ta quy ước A2 + AB + B2 là bình phương thiếu của tổng A + B.

Ví dụ minh họa: Tính 63- 43.

Ta có: 63- 43 = ( 6 – 4 )( 62 + 6.4 + 42 )

= 2.76

= 152.

1 SỐ MẸO NHỚ HẰNG ĐẲNG THỨC

1. Học thuộc bằng lời kèm theo công thức

Nhiều bạn hay học tủ, tức là chỉ học công thức hoặc chỉ học thuộc lời. Tuy nhiên nếu học bằng cả công thức và bằng lời sẽ giúp chúng ta nhớ lâu hơn, hiểu rõ được bản chất các hằng đẳng thức hơn.

2. Ghi hằng đẳng thức vào những tờ giấy nhớ

Những tờ giấy Sticker nhỏ xinh nhiều màu sắc sẽ là phương tiện giúp các bạn có hứng thú ghi nhớ hằng đẳng thức hơn. Mỗi công thức, các bạn hãy ghi ra 1 tờ giấy hoặc trang trí tùy ý theo sự sáng tạo của mình sau đó dán lên góc học tập hoặc bất cứ chỗ nào quen thuộc.

Bằng cách học này, các bạn sẽ dễ dàng ghi nhớ kiến thức, giảm bớt áp lực học tập.

3. Học lý thuyết kết hợp thực hành

Lý thuyết muốn nhớ lâu phải kết hợp làm bài tập luôn. Tức là học đến đâu làm bài áp dụng luôn đến đấy, việc này sẽ giúp chúng ta cải thiện được khả năng ghi nhớ, thực hành.

Với 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, chúng ta có thể vận dụng vào nhiều dạng bài tập khác nhau như:

– Bài tập về tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức.

Hướng dẫn giải: Bước đầu tiên là biến đổi biểu thức yêu cầu về dạng M = A² + B trong đó A là một biểu thức chứa biến và B là một số hoặc một biểu thức số độc lập. => Vận dụng tính chất về bình phương của mọi số thực luôn không âm nên => luôn luôn có A² ≥ 0 với mọi giá trị của biến số, do đó A² + B ≥ B nên biểu thức có giá trị nhỏ nhất bằng B. Dấu = xảy ra khi A = 0.

– Bài tập về tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức.

Hướng dẫn giải: Cần biến đổi biểu thức yêu cầu về dạng M = -A² + B trong đó A là một biểu thức chứa biến và B là một số hoặc một biểu thức số độc lập. Theo tính chất về bình phương của mọi số thực luôn không âm nên chúng ta có thể kết luận luôn luôn có A² ≥ 0 với mọi giá trị của biến số, do đó -A² + B ≤ B nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng B. Dấu = xảy ra khi A=0.

BÀI TẬP THỰC HÀNH VÀ ĐÁP ÁN

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b, x3 – 3×2 + 3x – 1 tại x = 101

Bài 3: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

a, P = x2 – 2x + 5

b, Q = 2×2 – 6x

c, M = x2 + y2 – x + 6y + 10

Lời giải:

Bài 1:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2×2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4×2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2

Bài 2:

a, Thay x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

b, Ta có: x3 + 9×2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Bài 3:

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b, Ta có: (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]

= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

c, Ta có: (ac + bd)2 + (ad – bc)2

= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2

= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2a2 + b2) + d2(a2 + b2)

= (a2 + b2)(c2 + d2)

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 4: a, Ta có: P = x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 4 ≥ 4

Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất ⇒ (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1

Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.

b, Ta có: Q = 2×2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2(x2 – 2.3/2 x + 9/4 – 9/4 )

= 2[(x – 2/3 ) – 9/4 ] = 2(x – 2/3 )2 – 9/2

Vì (x – 2/3 )2 ≥ 0 nên 2(x – 2/3 )2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 2/3 )2 – 9/2 ≥ – 9/2

Suy ra: Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất ⇒ (x – 2/3 )2 = 0 ⇒ x = 2/3

Vậy Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 2/3 .

c, Ta có: M = x2 + y2 – x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 – x + 1)

= (y + 3)2 + (x2 – 2.1/2 x + 1/4 + 3/4) = (y + 3)2 + (x – 1/2)2 + 3/4

Vì (y + 3)2 ≥ 0 và (x – 1/2)2 ≥ 0 nên (y + 3)2 + (x – 1/2)2 ≥ 0

⇒ (y + 3)2 + (x – 12)2 + 3/4 ≥ 3/4

⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)2 =0

⇒ y = -3 và (x – 1/2)2 = 0 ⇒ x = 1/2

Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2

Trên đây là chủ đề bài viết “Phát biểu hằng đẳng thức bằng lời” cho các bạn tham khảo. Hy vọng sẽ giúp đỡ các bạn trong quá trình học hằng đẳng thức nói chung và môn Toán nói riêng.