Cần nhớ ngay: 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp

Chứng minh “Tứ giác nội tiếp” nằm ở chương trình Toán 9 là dạng bài tập hình học rất cơ bản và thông dụng, đây thường là câu dễ ăn điểm nhất trong các kỳ thi lớp 9. Vậy 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp cụ thể như thế nào?

TỨ GIÁC NỘI TIẾP LÀ GÌ?

Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn thì tứ giác đó được gọi là tứ giác nội tiếp hay nội tiếp đường tròn.

– Những thông tin cơ bản cần nhớ về tứ giác nội tiếp:

– Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ.

– Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

– Các hệ quả:
+ Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
+  Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
+ Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung.

6 CÁCH CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1. Chứng minh tứ giác đó có tổng hai góc đối bằng 180 độ

Phương pháp này được coi là phương pháp dễ chứng minh nhất, chúng được xuất phát từ chính định nghĩa của tứ giác nội tiếp. Tứ là chúng ta chứng minh tứ giác đó có 2 góc đối nhau cộng lại đều bằng 180 độ.

Hệ quả:

Cho tứ giác ABCD:

• Nếu BAD = BCD = 90 độ thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BD
• Nếu tổng hai góc kề bù EAD = BCD thì tứ giác ABCD nội tiếp

2. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

Ở phương pháp chứng minh này, học sinh chú ý phải nhìn đúng hình và đúng góc bởi có rất nhiều bạn nhìn ra kết quả đúng nhưng cách chứng minh lại sai, kéo theo những lời giải của các câu sau cũng bị sai theo. 

Cụ thể, khi đề bài cho tứ giác ABCD và chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A bằng góc C của tứ giác (góc A và góc C đối đỉnh) thì có thể kết luận tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. 

3: Chứng minh hai đỉnh cùng kề một cạnh, cùng nhìn cạnh đó dưới hai góc bằng nhau và bằng 90 độ

Phương pháp này áp dụng khi đề bài cho tứ giác 4 cạnh ABCD và những dữ kiện gợi ý tính được rằng đoạn DAC = đoạn DBC = 90 độ. Từ đó, học sinh có thể kết luận tứ giác đó là tứ giác nội tiếp đường tròn.

4: Chứng minh bốn đỉnh của một tứ giác cách đều một điểm xác định

Đây là cách chứng minh tứ giác nội tiếp tương đối dễ áp dụng, chỉ cần bạn tinh ý là có thể biết cách chứng minh nhanh chóng. Hãy áp dụng cách này khi đề bài cho trước một đường tròn tâm O có bán kính R => bất kỳ điểm nào nằm trên đường tròn đều cách tâm một khoảng đúng bằng bán kính. 

Ví dụ: Cho một điểm O cố định và tứ giác ABCD.

Học sinh chứng minh được bốn điểm A, B, C, D cách đều điểm T với khoảng cách bằng R, tức OA = OB = OC = OD = R  thì điểm T chính là tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D. Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.

5: Chứng minh dựa vào định nghĩa: Tứ giác có tổng số đo hai cặp góc đối diện bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn

Ví dụ: Cho một tứ giác tứ giác ABCD

Để chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn chúng ta cần chứng minh được cặp góc A + góc C = góc B + góc D = bao nhiêu độ. Nếu tổng các góc đối bằng 180 độ thì hệ quả chính là phương pháp chứng minh số 1. 

6: Chứng minh tứ giác đó thuộc dạng tứ giác đặc biệt nên nội tiếp đường tròn

Các bạn dùng các dữ liệu đã cho để chứng minh tứ giác là hình thoi, hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật… sau đó vận dụng kết hợp các cách chứng minh trên rồi từ đó suy ra tứ giác đề bài là một tứ giác nội tiếp.

Trên đây là 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất quan trọng các bạn học sinh cần nhớ và áp dụng thành thạo. Chúc các bạn học tốt môn Toán và đạt điểm cao trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi chuyển cấp vào lớp 10.